TRANSFORMASI LINEAR

TRANSFORMASI LINEAR 

 

A.    Transformasi Linear

Tranformasi linier merupakan dasar dalam telaah aljabar yang berbentuk fungsi. Transdormasi linier yang dimaksud adalah perpindahan dari satu ruang yang biasanya dinamakan dengan domain atau daerah asal ke ruang lain yang dinamakan kodomain atau daerah hasil.

Jika F : V à W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W , maka F dinamakan transformasi linear jika :

      F(u+v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V

Jika F : V à W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1, v2 di V dan sebarang skalar k1,k2 diperoleh :

F(k1v1 + k2v2) = F(k1v1) + F(k2v2)

                                   = k1F(v1) + k2 F(v2)

Demikian juga jika v1,v2,...,vn ∈ V dan k1,k2,...,kn ∈ ℜ

F(k1v1 + ...+ knvn) = k1F(v1) + ... + kn F(vn)

Beberapa istilah dalam  transformasi linear

Diketahui  ruang vektor  V, W

-          Transformasi linear yang bekerja pada ruang vektor yang sama ,  T : V à V disebut  operator linear.

-          Transformasi linear  T : V  à W dengan   dengan T( u ) =  0  disebut transformai nol.

-          Transformasi linear  T : V  à W dengan   dengan T( u ) = A u   disebut transformasi  matriks  sedangkan  A disebut  matriks transformasi.

B.     Kernel ( inti )  dan  Jangkauan

          1.       Kernel (inti)

Jika T : V à W adalah sebuah transformasi linear maka :

(a) T(0) = 0

(b) T(-v) = - T(v) untuk setiap v ∈ V

(c) T(v-w) = T(v) – T(w) untuk setiap v,w ∈

Jika T : V à W adalah sebuah transformasi linear maka himpunan vektor di V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T dan dinyatakan dengan Ker(T). Himpunan semua vektor di w yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakana jangkauan (range) dari T dan dinyatakan dengan R(T).

Jika T : V à W adalah sebuah transformasi linear maka dimensi jangkauan dari T dinamakan Rank T dan dimensi kernel dinamakan Nulitas (nullity) T

Jika T : V à W adalah sebuah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W maka:

                             Rank (T) + Nulitas (T) = n

Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0, adalah

                             n – Rank (A

C. Penyajian Matriks

Misalkan :

       

     T  :  Rⁿ → R^m adalah transformasi linier dari ruang vektor real V ke ruang vektor real W, bila V dan W berdimensi berhingga, maka transformasi linier tersebut dapat di nyatakan dengan suatu matriks,yang disebut matriks penyajian (representasi matriks).

 

    e₁,e₂,....,e_n  adalah basis baku untuk R_n dan misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang dibentuk oleh T (e₁),T(e₂),...,T(e_n) sebagai vektor -vektor kolomnya, maka A disebut sebagai matriks penyajian satu matriks baku.

Contoh :
 

.