Sistem persamaan linear homogen dan non homogen


Sistem persamaan linear (SPL)adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih persamaan linear. Yang mana dalam sistem persamaan linear semua persamaan digambarkan dalam satu diagram kartesius.

Bentuk umum SPL dengan m persamaan dan n variabel

               

dimana    

x₁, x₂, …, x_n variabel tak diketahui.

a_ij , b_i, i = 1, 2, …, m dan  j = 1, 2, …, n  

 SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

sistem peesamaan linear yang semua suku konstantanya adalah nol.

seperti

3a+b+b =0

5a-b+c = 0

SISTEM PERSAMAAN NON HOMOGEN

Sebuah sistem persamaan linier dapat dikatakan nonhomogen apabila mempunyai bentuk :
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b_{2            .               .               .               .}
a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m
 Kemungkinan-kemungkinan pemecahan SPL adalah:

1. Tidak mempunyai penyelesaian.
2. Mempunyai tepat satu penyelesaian.
3. Mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu SPL adalah eliminasi Gauss / Gauss-jordan. Prosedur yang digunakan dalam metode ini adalah dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris (eliminasi Gauss) atau bentuk eselon baris tereduksi (eliminasi Gauss-Jordan). Proses ini dilakukan dengan menggunakan operasi baris elementer.
Operasi – operasi baris elementer yang dimaksud meliputi:

1. Mengalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol.
2. Menukarkan letak 2 baris.
3. Menambahkan perkalian dari satu baris pada baris yang lain.

 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi.
Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1. Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3. Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4. Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi.

Contoh soal:
Diketahui persamaan linear sebagai berikut:
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5