TRANSFORMASI LINEAR

TRANSFORMASI LINEAR 

 

A.    Transformasi Linear

Tranformasi linier merupakan dasar dalam telaah aljabar yang berbentuk fungsi. Transdormasi linier yang dimaksud adalah perpindahan dari satu ruang yang biasanya dinamakan dengan domain atau daerah asal ke ruang lain yang dinamakan kodomain atau daerah hasil.

Jika F : V à W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W , maka F dinamakan transformasi linear jika :

      F(u+v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V

Jika F : V à W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1, v2 di V dan sebarang skalar k1,k2 diperoleh :

F(k1v1 + k2v2) = F(k1v1) + F(k2v2)

                                   = k1F(v1) + k2 F(v2)

Demikian juga jika v1,v2,...,vn ∈ V dan k1,k2,...,kn ∈ ℜ

F(k1v1 + ...+ knvn) = k1F(v1) + ... + kn F(vn)

Beberapa istilah dalam  transformasi linear

Diketahui  ruang vektor  V, W

-          Transformasi linear yang bekerja pada ruang vektor yang sama ,  T : V à V disebut  operator linear.

-          Transformasi linear  T : V  à W dengan   dengan T( u ) =  0  disebut transformai nol.

-          Transformasi linear  T : V  à W dengan   dengan T( u ) = A u   disebut transformasi  matriks  sedangkan  A disebut  matriks transformasi.

B.     Kernel ( inti )  dan  Jangkauan

          1.       Kernel (inti)

Jika T : V à W adalah sebuah transformasi linear maka :

(a) T(0) = 0

(b) T(-v) = - T(v) untuk setiap v ∈ V

(c) T(v-w) = T(v) – T(w) untuk setiap v,w ∈

Jika T : V à W adalah sebuah transformasi linear maka himpunan vektor di V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T dan dinyatakan dengan Ker(T). Himpunan semua vektor di w yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakana jangkauan (range) dari T dan dinyatakan dengan R(T).

Jika T : V à W adalah sebuah transformasi linear maka dimensi jangkauan dari T dinamakan Rank T dan dimensi kernel dinamakan Nulitas (nullity) T

Jika T : V à W adalah sebuah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W maka:

                             Rank (T) + Nulitas (T) = n

Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0, adalah

                             n – Rank (A

C. Penyajian Matriks

Misalkan :

       

     T  :  Rⁿ → R^m adalah transformasi linier dari ruang vektor real V ke ruang vektor real W, bila V dan W berdimensi berhingga, maka transformasi linier tersebut dapat di nyatakan dengan suatu matriks,yang disebut matriks penyajian (representasi matriks).

 

    e₁,e₂,....,e_n  adalah basis baku untuk R_n dan misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang dibentuk oleh T (e₁),T(e₂),...,T(e_n) sebagai vektor -vektor kolomnya, maka A disebut sebagai matriks penyajian satu matriks baku.

Contoh :
 

.

METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Metode Cramer

Kaidah Cramer adalah rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.Metode ini menggunakan determinan suatu matriks dan matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu kolom dengan vektor yang terdiri dari angka di sebelah kanan persamaannya.
Kaidah Cramer tidak efisien untuk sistem dengan lebih dari dua atau tiga persamaan.

Contoh :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.}$

matriks ordo 3 × 3, caranya sama:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.}$

Persamaan ini dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.}$
Kemudian nilai x, y dan z dapat dicari dengan rumus berikut:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.}$

jika dimasukan angka :

METODE INVERS

Invers matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik dua variabel maupun tiga variabel. Untuk menentukan penyelesaian SPLDV dengan invers matriks, terlebih dahulu kita ubah bentuk umum SPLDV menjadi bentuk matriks. Perhatikan penjelasan berikut.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = p …………… Pers. (1)

cx + dy = q …………… Pers. (2)

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien kedua persamaan. Matriks X memuat variabel x dan y. Sedangkan matriks B memuat konstanta kedua persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut

[	a	b	]	[	x	]	=	[	p	]
	c	d			y				q

Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah untuk menentukan nilai x dan nilai y yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

A-1 merupakan invers matriks A. Dengan menggunakan rumus invers matriks di atas, maka bentuk matriks dari X = A-1B adalah sebagai berikut.

[	x	]	=	1	[	d	−b	]	[	p	]
	y			ad – bc		−c	a			q

Nah, rumus inilah yang digunakan untuk menentukan nilai x dan y dari sistem persamaan linear dua variabel. Agar kalian lebih paham mengenai cara menggunakan rumus invers matriks di atas, silahkan pelajari contoh soal berikut ini.

Berikut adalah contoh dari matriks ordo 3x3 :

METODE ELIMINASI GAUSS
Metode eliminasi gauss termasuk dalam metode penyelesaian persamaan linear dengan cara langsung. Inti dari metode ini adalah membawa persamaan kedalam bentuk matriks dan menyederhanakan matriks menjadi bentuk segitiga atas. Setelah mendapat bentuk matriks tersebut dilakukan subtitusi balik untuk mendapat nilai dari akar persamaan tadi. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan contoh berikut.

Contoh eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan

Selesaikan bentuk SPL berikut:

Eliminasi Gauss Jordan

Metode ini pengembangan dari metode eliminasi gauss. Dimana tujuan kita membuat matriks identitas bukan lagi segitiga atas sehingga tidak diperlukan lagi subtitusi balik untuk mencari nilai dari akar persamaan. Contoh penyelesaian Eliminasi Gauss Jordan dibawah ini berhubungan dengan contoh penyelesaian eliminasi gauss

Contoh soal:

Diketahui persamaan linear sebagai berikut:
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5